堆

基本定义

  • 堆是一个完全二叉树（除最后一层节点外，所有节点都是非空的，最后一层是从左到右依次排布的）

  • 堆（小根堆），每个点都小于等于两个儿子的最小值

  • 堆的数组实现，用一维数组即可存储

​ 根节点存在1号位，x点的左儿子：2x

​ x点的右儿子：2x+1

基本操作

==这五个操作通过down(x)和up(x)都可以实现==

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
//down操作
void down(int u){
    int t = u;//用t来表示u，u的两个儿子这三个点中的最小值
    if(u * 2 <= siz && h[u * 2] <h[t]) t = u * 2;//如果左儿子比u小，t就赋值左儿子
    if(u * 2 + 1 <= siz && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;//同上
    if(u != t){//如果u不等于t,那就说明u不是三个点中的最小值，
        swap(h[u], h[t]);
        down(t);
    }
}
//up操作
void up(int u){
    while(u / 2 && h[u / 2] > h[u]){
        swap(h[u / 2], h[u]);
        u /= 2;
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
heap代表堆数组，size代表堆的大小
* 插入一个数	 		
将x插到heap的最后一位，再up
heap[++size] = x; up(size);		
* 求集合当中的最小值		 
小根堆的第一个点就是最小值
heap[1];
* 删除最小值
因为一维数组删掉尾结点很容易(只需要size--)，所以可以将尾结点覆盖到头结点(也就是最小值)，然后down
heap[1] = heap[size];size--;down(1);
* 删除任意一个元素
同上。因为不知道heap[k]变大还是变小，也不需要判断，直接down和up就行（只会执行一个）
heap[k] = heap[size];size--;down(k)；up(k);
* 修改任意一个元素
同上
heap[k] = x;down(k);up(k);

例题1.堆排序

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式
第一行包含整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式
共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围
1≤m≤n≤105，
1≤数列中元素≤109
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
//只需要实现输出堆顶数和删除堆顶数即可完成此题
//所以只需要实现down操作即可
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, m;
int h[N], siz;

void down(int u){
    int t = u;//用t来表示u,u的两个儿子这三个点中的最小值的编号
    if(u * 2 <= siz && h[u * 2] <h[t]) t = u * 2;//如果左儿子比u小，t就赋值左儿子
    if(u * 2 + 1 <= siz && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;//同上
    if(u != t){//如果u不等于t,那就说明u不是三个点中的最小值，
        swap(h[u], h[t]);
        down(t);
    }
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin>>h[i];
    siz = n;
    
    //如何将数组建成堆
    for(int i = n / 2; i; i--) down(i);
    
    while(m--){
        cout<<h[1]<<" ";
        h[1] = h[siz];
        siz --;
        down(1);
    }
    return 0;
}

例题2.模拟堆

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：

I x，插入一个数 x；
PM，输出当前集合中的最小值；
DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
D k，删除第 k 个插入的数；
C k x，修改第 k 个插入的数，将其变为 x；
现在要进行 N 次操作，对于所有第 2 个操作，输出当前集合的最小值。

输入格式
第一行包含整数 N。

接下来 N 行，每行包含一个操作指令，操作指令为 I x，PM，DM，D k 或 C k x 中的一种。

输出格式
对于每个输出指令 PM，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。

每个结果占一行。

数据范围
1≤N≤105
−109≤x≤109
数据保证合法。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int ph[N], hp[N];
//想找到第k个插入的数，需要两个维护数组
//ph存的是第k个点在堆中的下标
//hp存的是堆中的点对应在ph数组中的下标
int h[N], siz;
int n, m;//m用来记录当前插入的是第几个数
//交换堆中数值的同时，维护数组也要跟着交换
void heap_swap(int a, int b) {
	swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]);
	swap(hp[a], hp[b]);
	swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u) {
	int t = u;

	if (2 * u <= siz && h[2 * u] < h[t])
		t = 2 * u;

	if (2 * u + 1 <= siz && h[2 * u + 1] < h[t])
		t = 2 * u + 1;

	if (t != u) {
		heap_swap(u, t);
		down(t);
	}
}

void up(int u ) {
	while (u / 2 && h[u / 2] > h[u]) {
		heap_swap(u / 2, u);
		u /= 2;
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);

	cin >> n;

	while (n--) {
		char op[10];
		int k, x;
		cin >> op;

		if (!strcmp(op, "I")) {
			cin >> x;
			siz ++;
			m++;
			ph[m] = siz, hp[siz] = m;
			h[siz] = x;
			up(siz);
		} else if (!strcmp(op, "PM"))
			cout << h[1] << endl;
		else if (!strcmp(op, "DM")) {
			heap_swap(1, siz);
			siz--;
			down(1);
		} else if (!strcmp(op, "D")) {
			cin >> k;
			k = ph[k];//找到k在堆中的位置
			heap_swap(k, siz);
			siz--;
			down(k), up(k);
		} else {
			cin >> k >> x;
			k = ph[k];
			h[k] = x;
			down(k), up(k);
		}
	}

	return 0;
}